Duże i małe

Ciemniejsze pola odpowiadają większym iloczynom. Bardzo różne kształty jednobarwnych obszarów wynikają z różnego doboru progów: raz są nimi wielokrotności liczby 35, raz - parzyste kwadraty, a raz - potęgi liczby 2. Ten trzeci wariant wydaje się najbardziej zgodny ze strukturą tabliczki mnożenia, ponieważ poszczególne obszary mają (w dobrym przybliżeniu) jednakowy kształt.

Specjalne czynniki

Takie tabliczki mnożenia możemy otrzymać, zmieniając listę "nagłówków" naszej tabliczki mnożenia. Gdzie się ona znajduje?

W tabliczkach mnożenia potęg łatwo dostrzec, że każda lewoskośna przekątna zawiera w każdym polu taką samą liczbę. Obserwacja ta ilustruje jedno z podstawowych praw potęgowania.

Podzielności i reszty

Parzyste, nieparzyste itp.

Ciemniejszy kolor odpowiada większej liczbie możliwych dzieleń przez 2 (bez dochodzenia do ułamków). Np. liczba 16 jest ciemniejsza od 12, bo 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2 i 2:2=1, zaś 12:2=6 i 6:2=3. Na kolejnych tabliczkach dodatkowo pokolorowano liczby nieparzyste w zależności od ich reszty z dzielenia przez 4 oraz przez 8.

Kwadraty lub ich brak

Liczbą bezkwadratową nazywa się taką, wśród której dzielników nie ma kwadratu liczby większej od 1. Oczywiście bezkwadratowe są liczby pierwsze (żółte), w odróżnieniu od samych kwadratów (ciemnoszare). Inne wielokrotności kwadratów oznaczone są na jasnoszaro, a białe pozostają liczby bezkwadratowe.

Wiele ciekawych wniosków można zaobserwować (i zwykle bez trudu wykazać), obserwując poszczególne wiersze i kolumny. Na przykład każdy rząd zaczynający się od szarej liczby jest w całości szary (czyli: wielokrotność wielokrotności kwadratu jest wielokrotnością kwadratu). Na przecięciach rzędów odpowiadających kwadratom znajdują się inne kwadraty (czyli iloczyn kwadratów jest kwadratem), ale poza skrzyżowaniami nie ma w tych rzędach innych ciemnoszarych pól (czyli iloczyn kwadratu z nie-kwadratem jest nie-kwadratem; wynika stąd też coś na temat rzędów rozpoczynających się od pól jasnoszarych).

Drugą tabliczkę otrzymujemy, wykreślając wszystkie rzędy odpowiadające kwadratom i ich wielokrotnościom. Jest to więc tabliczka mnożenia przez liczby bezkwadratowe. I tutaj znajdziemy garść interesujących obserwacji. Dla przykładu, w rzędach odpowiadających liczbom pierwszym pola jasnoszare występują wyjątkowo rzadko - dlaczego? Kwadraty znajdujemy jedynie na głównej przekątnej (co jest nieuniknione), istotnie nietrudno wykazać, że iloczyn dwóch różnych liczb bezkwadratowych nie może być kwadratem. Kiedy jest bezkwadratowy?

Dodawanie dzielników

Dodając dzielniki właściwe liczby naturalnej, możemy trafić na jedną z trzech sytuacji:

• otrzymujemy sumę mniejszą od wyjściowej liczby - wówczas taką liczbę nazywamy deficyfową; wśród nich znajdziemy wszystkie liczby pierwsze (czerwone), ich wyższe potęgi (pomarańczowe) i in. (żółte);

• otrzymujemy sumę równą wyjściowej liczbie - nazywa się ją wówczas doskonałą (fioletowa);

• otrzymana suma przekracza wyjściową liczbę - taką liczbę nazywamy nadmiarową (niebieska).

Wielokrotność każdej liczby nadmiarowej lub doskonałej jest nadmiarowa. Ciemniejszym niebieskim kolorem oznaczone są te liczby nadmiarowe, które nie są wielokrotnościami innych liczb nadmiarowych. Każda liczba nadmiarowa jest wielokrotnością którejś z nich. 

Podobnie dzielnik liczby deficytowej lub doskonałej jest deficytowy. Istnieją jednak dowolnie długie łańcuchy liczb deficytowych, z których każda jest dzielnikiem wszystkich kolejnych (choćby potęgi ustalonej liczby pierwszej).

Deficytowe są wszystkie liczby nieparzyste przedstawione powyżej; nie jest to jednak ogólna prawda. Najmniejszą nieparzystą liczbą nadmiarową jest 945.

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych (nie jest też znane bardzo wiele takich liczb); nie wiadomo też, czy wśród nich istnieje choćby jedna nieparzysta.

Liczby geometryczne

Jak rozmieszczone są na tabliczkach mnożenia liczby spotykane w znanych ciągach? W tabliczce po lewej stronie na czerwono oznaczono kwadraty, na niebiesko - liczby trójkątne, a na żółto - liczby pięciokątne. Łatwo widać charakterystyczne pasy; co za nimi stoi?

Mniej regularności widać na tabliczce prawej, gdzie kolorem zielonym oznaczono dwukrotności kwadratów, czerwonym - liczby czworościenne, niebieskim - piramidalne, a pomarańczowym - sześcienne.

Różnice prostokątów

W miarę, jak oddalamy się od prawoskośnej przekątnej, otrzymywane iloczyny zmniejszają się. O jak dużo? Odpowiednie różnice znajdujemy na polach tejże przekątnej. Kolor liczby odpowiada tej odległości, a szukana różnica znajduje się w polu o tym samym kolorze. Na przykład, zielona liczba 39 znajduje się o 5 pól od przekątnej, więc jest zielona; najbliższe jej pole zawiera liczbę 64, a w zielonym polu znajdujemy liczbę 25. Istotnie, 64-25=39.

Niesamowite, że ta sama reguła pozostaje w mocy nawet wówczas, gdy zamiast głównej przekątnej wybierzemy inną, ale nadal prawoskośną linię; zjawisko to ilustrują tabliczki poniżej.

Twierdzenie Nikomacha przez dodawanie

Twierdzenie Nikomacha głosi, że suma sześcianów liczb naturalnych od 1 do n jest równa kwadratowi n-tej liczby trójkątnej. Dowód można oprzeć na przedstawionej ilustracji. Obliczając sumę liczb wpisanych w lewym górnym narożu tabliczki mnożenia, z jednej strony otrzymujemy sumę sześcianów (dodając według kolorowych warstw), a z drugiej - kwadrat liczby trójkątnej (dodając kolumnami, bo suma liczb w k-tej kolumnie jest k-krotnie większa od sumy w kolumnie pierwszej).